موضوعنا اليوم هو طلب من أحد الإخوة المميزين في شبكتنا r00tki113r
ما هي المتجهات ؟
| تخيل أنك تريد قياس طول قطعة من الخشب فستقوم بجلب جهاز القياس و مثلًا قياس 1.5 متر | |
| تخيل أنك تريد قياس درجة حرارة الجو فستقوم بجلب مقياس درجة الحرارة و مثلًا 37 درجة سليوس أنا أعلم أنك ستبحث في الأخبار و لكن كمثال | |
| تخيل أن تريد قياس سعة كوب فستقوم بملئ الكوب بالماء وإفراغه في وعاء أكبر مدرج ومعرفة سعة الكوب و مثلًا 0.5 لتر |
و الآن تخيل أنك تريد إعطائي أين تقع فلسطين فستقول: تبعد عني فلسطين مثلًا 1000 كيلو متر ولكن انتظر من أي جهة, ففي حالة الطول والحرارة والسعة كان يكفي ذكر الرقم والواحدة, أما هنا فأنت تحتاج لإتجاه فلولاه فلن تعرف لأين يجب ان تذهب
وهذا هو المتجه (Vector), في الأمور السابق كنا نحتاج للمقدار ووحدة القياس وهذه تسمى الكميات القياسية, أما الآن في المتجه فهو [مقدار ووحدة + اتجاه]
فكمية قياسية + اتجاه = كمية متجهة.
حال المتجهات كغيرها لها خصائص و قوانين خاصة بها, فالمتجه يتم تمثيله بسهم
فكما هو ظاهر بالصورة فمن خصائص المتجهات:
الخاصية الأولى المقدار (Magnitude) : والذي يمثل طول القطعة المستقيمة الواصلة بين بداية (ذيل) المتجه إلى نهاية (رأس) المتجه و يتم إيجاد مقدار المتجه من خلال قانون عام و هو "تحت الجذر, تربيع الأول + تربيع الثاني"
فترى في الصورة وجود رمزين مخصصين في حالة رغبتنا بحساب المقدار فقط بالإضافة لحالتين رئيسيتين إما أن أعطيك قيمة لذيل المنتدى و قيمة لرأسه أو نقطتين على مستوى بياني أو ديكارتي.
ولكن لمحبي الفهم فما هي هذه القوانين؟
القانون الأول: فالنفترض أننا قلنا أن v = (3,4) فلدينا 3 على x و 4 على y فنقوم بالسير افقيا على محور X بمقدار 3 و عامودا على y بمقدار 4
فينتج الشكل التالي:
فللإنسان الفهمان سيرى بأن هذا فيثاغورس -->
(الوتر)^2 = الأول^2 + الثاني ^2
فهنا مقدار المتجه = قيمة الوتر والذي نجده من قانون فيثاغورس
أما القانون الثاني: فهو المسافة بين نقطتين, فالهدف هو إيجاد طول القطعة المستقيمة التي تمثل المتجه و التي هي مقداره و إما ان نستخدم فيثاغورس أو المسافة بين نقطتين
الخاصية الثانية الإتجاه (Direction) : يوجد عدد من الأنظمة لتحديد الإتجاه فيوجد (الإتجاهات الجغرافية) و (الزاوية مع محور X الموجب)
أما الزاوية فتكون من خلال ال tan inverse و يتم استخدام الآلة الحاسبة في هذه العملية, و إن احتجت أن تتعلم كيف تستخدمها فقم بالبحث و لكن هذا أستاذي في الثانوية العامة و هذا شرحه لاستخدامها (ستحتاج لتقديم الفيديو) : اضغط هنا
موضوع خارجي قبل أن نكمل
يوجد نظام يسمى متجهات الوحدة الأساسية لتمثيل المتجهات و هو (i,j,k) و على كل منها هذا الرمز ^
فبدلًا من أن أقول<5,1,2> أستطيع القول 5i+j+2k فقط و نطبق عليه كل قوانين وخصائص المتجهات بطريقة عادية.
إيجاد متجه الوحدة (Unit Vector) : وهو بكل اختصار أن نقوم بتقليص طول (مقدار) المتجه مع الحفاظ على مقداره
والقانون بكل اختصار u (متجه الوحدة) = المتجه / مقدار المتجه
وهذا فيديو بسيط يشرح و يطبق بعض الأمثلة المختلفة على هذه النقطة:
فكما هو ظاهر بالصورة فمن خصائص المتجهات:
الخاصية الأولى المقدار (Magnitude) : والذي يمثل طول القطعة المستقيمة الواصلة بين بداية (ذيل) المتجه إلى نهاية (رأس) المتجه و يتم إيجاد مقدار المتجه من خلال قانون عام و هو "تحت الجذر, تربيع الأول + تربيع الثاني"فترى في الصورة وجود رمزين مخصصين في حالة رغبتنا بحساب المقدار فقط بالإضافة لحالتين رئيسيتين إما أن أعطيك قيمة لذيل المنتدى و قيمة لرأسه أو نقطتين على مستوى بياني أو ديكارتي.
ولكن لمحبي الفهم فما هي هذه القوانين؟
القانون الأول: فالنفترض أننا قلنا أن v = (3,4) فلدينا 3 على x و 4 على y فنقوم بالسير افقيا على محور X بمقدار 3 و عامودا على y بمقدار 4
فينتج الشكل التالي:
فللإنسان الفهمان سيرى بأن هذا فيثاغورس -->
(الوتر)^2 = الأول^2 + الثاني ^2
فهنا مقدار المتجه = قيمة الوتر والذي نجده من قانون فيثاغورس
أما القانون الثاني: فهو المسافة بين نقطتين, فالهدف هو إيجاد طول القطعة المستقيمة التي تمثل المتجه و التي هي مقداره و إما ان نستخدم فيثاغورس أو المسافة بين نقطتين
الخاصية الثانية الإتجاه (Direction) : يوجد عدد من الأنظمة لتحديد الإتجاه فيوجد (الإتجاهات الجغرافية) و (الزاوية مع محور X الموجب)أما الزاوية فتكون من خلال ال tan inverse و يتم استخدام الآلة الحاسبة في هذه العملية, و إن احتجت أن تتعلم كيف تستخدمها فقم بالبحث و لكن هذا أستاذي في الثانوية العامة و هذا شرحه لاستخدامها (ستحتاج لتقديم الفيديو) : اضغط هنا
موضوع خارجي قبل أن نكمل
يوجد نظام يسمى متجهات الوحدة الأساسية لتمثيل المتجهات و هو (i,j,k) و على كل منها هذا الرمز ^
فبدلًا من أن أقول<5,1,2> أستطيع القول 5i+j+2k فقط و نطبق عليه كل قوانين وخصائص المتجهات بطريقة عادية.
إيجاد متجه الوحدة (Unit Vector) : وهو بكل اختصار أن نقوم بتقليص طول (مقدار) المتجه مع الحفاظ على مقدارهوالقانون بكل اختصار u (متجه الوحدة) = المتجه / مقدار المتجه
وهذا فيديو بسيط يشرح و يطبق بعض الأمثلة المختلفة على هذه النقطة:
أولًا : الجمع و الطرح
عندما نقوم بجمع المتجهات فيوجد جمع جبري و جمع هندسي
فالجمع الجبري هو جمع 1 + 1 = 2
نجمع قيمة المحور X معاً و قيمة المحور Y معًا و قيم المحور Z معًا و إن كنا في تمثيل (i,j,k) فنفس النقطة.
أما الجمع الهندسي
قلنا بأننا يمكننا تمثيل المتجهات على محور ثنائي الأبعاد (x,y) أو ثلاثي الأبعاد (x,y,z)
فعند الجمع هندسي نستخدم قاعدة ذيل الثاني على رأس الأول, فكأننا نقوم بالإمساك بالمتجه الثاني و نضع ذيله على رأس المتجه الأول و في الناهية نقوم بعمل متجه من ذيل الأول لرأس الأخير و هو المحصلة
أما في الطرح الطرح هو جمع سالب, ما أعنيه
A - B = A + (-B)
فكل ما عليك فعله هو تغيير إشارة B في الطرح الجبري و جمعه بشكل طبيعي و في الطرح الهندسي قم بجعله على نفس المقدار و لكن إعكس الإتجاه
ثانيًا : الضرب و القسمة
يوجد نوعين من الضرب و هما
يمكننا ضرب متجه بكمية قياسية كما بالصورة, نلاحظ أن الإتجاه ثابت و الطول (المقدار) هو من يتغير
و الضرب القياسي حاله كحال الجمع الجبري نقوم بـ (نضرب قيم X معًا + نضرب قيم Y معًا + نضرب قيم Z معًا)
أما في الضرب المتجهي فرأيت بأن هذا الفيديو مفيد جدًا, بالإضافة إلى أن الضرب المتجهي غير شائع إلا في المواضيع المتقدمة في الفيزياء:
- أنظمة ال GPS و حساب الموقع واتجاه الحركة و في توجيه الطائرات
- تحليل أداء اللاعبين الرياضيين من وجهة نظر العلوم لتوجيهم لأفضل طريقة للعلب و التمرير
- تصميم الألعاب و برامج المحاكاة
- بعض التطبيقات الهندسية مثل العزم و الدوران و تحليل تحمل المباني للمؤثرات الخارجية
فالمتجهات هي أمور أساسية في الرياضيات والهندسة. تُستخدم لتمثيل الكميات التي لها مقدار و اتجاه ، وهي ضرورية لتحليل الظواهر الطبيعية مثل الحركة والقوى. سواء في الفيزياء لتحليل الحركة والقوى، أو في الهندسة لحساب الاستقرار والعزم، أو في التصميم ثلاثي الأبعاد وحسابات الجرافيكس
و أتمنى أن تكون قد رأيت هذا المقال مفيد يا r00tki113r و إن كان لديك أي ملاحظات فأتمنى أن تطلعني عليها
إن أصبت فهو من الله و إن أخطأت فهو من نفسي و الشيطان
و السلام عليكم
التعديل الأخير بواسطة المشرف:
